Lögmálið um takmarkað val

Líkindafræðin er stundum með ólíkindum. Oft hefur fólk nokkuð góða tilfinningu fyrir því hvað er líklegt og hvað er ólíklegt. En stundum eru líkindi ekki augljós og stríða jafnvel gegn almennri tilfinningu.

Þeir sem spila brids þekkja margir lögmálið um takmarkað val (The principle of restricted choice). Í stuttu máli þá felst það í eftirfarandi fullyrðingu: Ef spilari lætur út spil sem hann getur valið úr röð jafngildra spila þá minnka líkurnar á því að hann sé með hin jafngildu spilin. T.d. ef spilari getur verið með kóng og drottningu og spilar út kóng, þá  minnka líkurnar á því að hann sé með drottninguna líka!

Skoðum spaðaskiptinguna í eftirfarandi dæmi:

 

Suður sér að það eru fjórir spaðar úti.  Hann spilar áttunni, það kemur lítið spil frá vestri, gosanum svínað og austur tekur á kóng. Næst þegar suður er heima spilar hann sjöunni, aftur kemur lítið spil frá vestri.  Og nú er spurningin, á suður að svína aftur eða taka á ás og freista þess að fella drottninguna?

Lítum aðeins á mögulegar skiptingar þeirra fjögurra spila sem eru úti í upphafi:

Vestur er búinn að sýna hundana tvo og austur er búinn að sýna kónginn. Þá eru eftirfarandi skiptingar eftir:

Upphafslíkurnar á því að austur sé með KQ eru örlítið meiri en að hann sé með kónginn stakan. Engu að síður er það svo að svíning heppnast nærri því helming oftar en þegar reynt er að fella drottninguna. Hvers vegna?

Svarið felst í lögmálinu um takmarkað val. Þegar austur tók fyrri slaginn á kóng gat hann valið um að taka hann á kóng eða drottningu. Að því gefnu spilarar jafn oft á kóng og drottningu í svona stöðu þá líta líkurnar svona út:

Nú sést að líkurnar á því að svíning skili árangri eru orðnar miklu meiri.  Þetta liggur alls ekki í augum uppi en hefur engu að síður verið sannprófað og er þekkt hjá keppnisspilurnum. Það er ef til vill auðveldast að sannfærast um að þetta sé rétt með því að ímynda sér að það sé óháður dómari við borðið sem límir yfir kónginn og drottninguna miða sem stendur á M (mannspil) þannig að suður getur ekki þekkt spilin í sundur. Suður spilar eins og áður, lætur út áttu og austur drepur á M. Næst þegar suður spilar spaða setur vestur aftur lágt, en nú þarf suður að taka einn möguleika enn með í reikninginn:

Þ.e. tilvikið þegar austur er með drottninguna staka.  Og nú sjáum við sömu stöðu og áður, þ.e. að svíning skilar betri árangri í um helmingi fleiri tilvika.

Áhrif lögmálsins um takmarkað val kemur einnig vel fram ef við berum spilið að ofan saman við annað spil:

Hér vantar fjögur spil eins og áður, en nú eru það kóngur og gosi sem eru úti en ekki kóngur og drottning. Suður spilar eins, svínar fyrst drottningu og austur tekur á kóng. Spilar svo seinna spaða að heiman og vestur setur lágt. En núna ber svo við að líkindafræðin segir að það sé árangursríkara að taka á ásinn heldur en að svína. Það er vegna þess að þegar austur tók á kónginn hafði hann ekkert val.  Líkurnar á því að austur hafi byrjað með kóng og gosa eru eins og í töflunni að ofan 6,8% en aðeins minni eða 6,2% að hann hafi byrjað með kónginn stakan.

Lögmálið um takmarkað val getur komið upp í brids við ýmsar aðstæður, bæði í sókn og vörn. Ýmsir hafa skrifa um þetta á netinu.  Hér eru nokkrar greinar:
http://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_restricted_choice_(bridge) 
http://www.rpbridge.net/4b73.htm 
http://terencereese.tripod.com/the_principle_of_restricted_choice.htm 

Einnig er mjög fróðlegt að lesa um aðra (og líklega frægari) birtingarmynd af lögmálinu um takmarkað val, The Monty Hall problem.
http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem 

Athugasemdir

[Anna Einarsdóttir, 24.1.2010 kl. 22:05]

Ég skil þetta varla.    Líkurnar benda til að ég þurfi að lesa þetta þrisvar.  Mér hefur verið sagt að séu fjögur spil úti séu mestu líkurnar á að þau liggi 2 - 2.  Síðan spilar maður oftast af gömlum vana...... telur slagina, svínar þar sem þarf til að eiga möguleika á að standa spilið o.s.frv.  Sennilega hef ég ekki lesið nóg.  En það er líka kostur..... þá hef ég eitthvað að dunda mér við í ellinni. 

[Þorsteinn Sverrisson, 29.1.2010 kl. 21:44]

Nei þetta liggur alls ekki í augum uppi !  En ef það eru fjögur spil úti eru um 50% líkur á að þau liggi 3-1 en um 40% líkur á 2-2 skiptingu. Það er endalaust hægt að bæta við sig bridsþekkingu en mestu skiptir þó að hafa gaman af þessu og skemmtilega spilafélaga

[Sigurpáll Ingibergsson, 4.2.2010 kl. 10:47]

Þetta er mjög vel útskýrt hjá þér Þorsteinn. Flott framsetning, flottar töflur.

[Gunnar Th. Gunnarsson, 9.2.2010 kl. 17:10]

Í þessu tilfelli er ekki spurning að taka á ás, þú tapar aldrei meiru en einum þannig, enda alltaf tapari í sortinni. Með öðrum stategíum er hægt að tapa tveimur.

[Gunnar Th. Gunnarsson, 9.2.2010 kl. 17:14]

Ah..., þetta er nú tóm vitleysa í mér  ... en líkurnar eru bestar samt að taka á ás strax, 9/16 að tapa bara einum þannig