Lögmálið um takmarkað val

Líkindafræðin er stundum með ólíkindum. Oft hefur fólk nokkuð góða tilfinningu fyrir því hvað er líklegt og hvað er ólíklegt. En stundum eru líkindi ekki augljós og stríða jafnvel gegn almennri tilfinningu.

Þeir sem spila brids þekkja margir lögmálið um takmarkað val (The principle of restricted choice). Í stuttu máli þá felst það í eftirfarandi fullyrðingu: Ef spilari lætur út spil sem hann getur valið úr röð jafngildra spila þá minnka líkurnar á því að hann sé með hin jafngildu spilin. T.d. ef spilari getur verið með kóng og drottningu og spilar út kóng, þá  minnka líkurnar á því að hann sé með drottninguna líka!

Skoðum spaðaskiptinguna í eftirfarandi dæmi:

 

Suður sér að það eru fjórir spaðar úti.  Hann spilar áttunni, það kemur lítið spil frá vestri, gosanum svínað og austur tekur á kóng. Næst þegar suður er heima spilar hann sjöunni, aftur kemur lítið spil frá vestri.  Og nú er spurningin, á suður að svína aftur eða taka á ás og freista þess að fella drottninguna?

Lítum aðeins á mögulegar skiptingar þeirra fjögurra spila sem eru úti í upphafi:

Vestur er búinn að sýna hundana tvo og austur er búinn að sýna kónginn. Þá eru eftirfarandi skiptingar eftir:

Upphafslíkurnar á því að austur sé með KQ eru örlítið meiri en að hann sé með kónginn stakan. Engu að síður er það svo að svíning heppnast nærri því helming oftar en þegar reynt er að fella drottninguna. Hvers vegna?

Svarið felst í lögmálinu um takmarkað val. Þegar austur tók fyrri slaginn á kóng gat hann valið um að taka hann á kóng eða drottningu. Að því gefnu spilarar jafn oft á kóng og drottningu í svona stöðu þá líta líkurnar svona út:

Nú sést að líkurnar á því að svíning skili árangri eru orðnar miklu meiri.  Þetta liggur alls ekki í augum uppi en hefur engu að síður verið sannprófað og er þekkt hjá keppnisspilurnum. Það er ef til vill auðveldast að sannfærast um að þetta sé rétt með því að ímynda sér að það sé óháður dómari við borðið sem límir yfir kónginn og drottninguna miða sem stendur á M (mannspil) þannig að suður getur ekki þekkt spilin í sundur. Suður spilar eins og áður, lætur út áttu og austur drepur á M. Næst þegar suður spilar spaða setur vestur aftur lágt, en nú þarf suður að taka einn möguleika enn með í reikninginn:

Þ.e. tilvikið þegar austur er með drottninguna staka.  Og nú sjáum við sömu stöðu og áður, þ.e. að svíning skilar betri árangri í um helmingi fleiri tilvika.

Áhrif lögmálsins um takmarkað val kemur einnig vel fram ef við berum spilið að ofan saman við annað spil:

Hér vantar fjögur spil eins og áður, en nú eru það kóngur og gosi sem eru úti en ekki kóngur og drottning. Suður spilar eins, svínar fyrst drottningu og austur tekur á kóng. Spilar svo seinna spaða að heiman og vestur setur lágt. En núna ber svo við að líkindafræðin segir að það sé árangursríkara að taka á ásinn heldur en að svína. Það er vegna þess að þegar austur tók á kónginn hafði hann ekkert val.  Líkurnar á því að austur hafi byrjað með kóng og gosa eru eins og í töflunni að ofan 6,8% en aðeins minni eða 6,2% að hann hafi byrjað með kónginn stakan.

Lögmálið um takmarkað val getur komið upp í brids við ýmsar aðstæður, bæði í sókn og vörn. Ýmsir hafa skrifa um þetta á netinu.  Hér eru nokkrar greinar:
http://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_restricted_choice_(bridge) 
http://www.rpbridge.net/4b73.htm 
http://terencereese.tripod.com/the_principle_of_restricted_choice.htm 

Einnig er mjög fróðlegt að lesa um aðra (og líklega frægari) birtingarmynd af lögmálinu um takmarkað val, The Monty Hall problem.
http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem 

Hin undurfagra Chagas svíning

Ég byrjaði að spila brids í Flúðaskóla Hrunamannahreppi, líklega 14 ára gamall. Það hefur löngum verið mikil hefð fyrir þessari íþrótt í Gullhreppunum og starfræktur öflugur bridsklúbbur þar í áratugi. Síðan lá leiðin í Menntaskólann á Laugarvatni þar sem lítið var um afþeyingu á þeim tíma.  Dagarnir liðu oft þannig að eftir kennslu var sest við spilaborðið á setustofunni og spilað og spilað fram að kvöldmat.  Eftir mat var ósjaldan aftur hafist handa við spilamennsku og oft var spilað á nokkrum borðum í einu á heimavistinni. Einu sinni í viku voru svo tvímenningskeppnir og sveitakeppnir þess á milli.  Svo var stundum farið á suðurlandsmót og framhaldsskólamót.

Maður var orðinn seigur í brids á þessum árum. En síðan hefur leiðin legið niður á við. Þó spilum við nokkir félagar í heimahúsum af og til en það er frekar óagað og ekki spilamennska sem myndi skila miklum árangri í keppnisbrids.

Ég les oftast bridsdálkana í mogganum og mun ekki segja því blaði upp meðan þeir eru þar (þegar ég hóf búskap hringdi ég í rafmagsveituna, hitaveituna, símann og moggann og hef keypt þessa þjónustu síðan).  Ef það koma skemmtilegir bridsdálkar þá klippi ég þá stundum út og á orðið nokkuð safn af svona úrklippum.  Í gær fór ég að blaða í þessum moggarifrildum fyrir svefninn og rakst á þetta spil.

Hér er suður sagnhafi í 4 spöðum eftir að austur opnaði á sterku grandi. Það kemur út hjarta, meira hjarta og suður trompar þriðja hjartað. Ljóst er að spilið stendur og fellur með því að gefa bara einn slag á spaða.

		ª	Q 9 2
		©	6 5 4
		¨	A Q 3
		§	K 8 4 3
ª	10 6		N		ª	K J 7
©	10 9 8 2		W	E	©	A K QJ
¨	5 4				¨	10 9 7 6
§	10 9 7 5 2		S		§	Q J
		ª	A 8 5 4 3
		©	7 3
		¨	K J 8 2
		§	A 6

Það er óhætt að gefa sér það að austur eigi spaða kónginn og líklega gosann líka. Spurningin er hvort austur á tvo eða þrjá spaða. Vanur spilari kannar þess vegna laufið næst, tekur ás, síðan kóng og spilar laufi úr borði. Austur hendir tígli því hann er eldri en tvævetur en suður trompar. Og nú veit suður að austur er mjög líklega með þrjá spaða, vonandi KGx eða K10x. Ef hann er með KG10 verður ekki við neitt ráðið.

Og þá kemur lykilspilamennskan. Litlum spaða er spilað á níuna í borði. Austur fær á gosann og gerir best í því að spila sér út á tígli. Sagnhafi spilar þá spaða drottningu úr borði og fellir kónginn eða heypir henni. 10 slagir í hús. 

Svona svíning er stundum kölluð innri svíning eða Ghagas svíning, kennd við Gabriel Chagas, frægan argentínskan bridsspilara.

Sjálfur er ég ekki viss um að ég hefði hitt á þessa spilamennsku en svona er brids.  Þó það séu bara 52 spil í stokknum geta aðstæðurnar verið óteljandi og alltaf hægt að læra eitthvað nýtt.

Reyndar heyrði ég um aðra stórfurðulega kenningu um líkindafræði í brids nýlega sem ég á sennilega eftir að blogga um.  En fyrst þarf ég að reyna að skilja það mál til fulls.

Vandræðagangur með líkamsleifar

Merkileg þessi árátta að þurfa að vita hvar líkamsleifar fólks sem er löngu dáið séu niðurkomnar eins og kemur fram í þessari frétt. Hvers vegna er fólki ekki sama hvað hefur orðið um bein Adolfs Hitlers, Evu Braun og Göbbels? Það er nú ekki heldur eins og þetta séu manneskjur sem eru okkur kærkomar.   Margt er á huldu um dauða illmennisins og hafa verið skrifaðar margar bækur og ritgerðir um það efni. Þessi kenning að hann hafi verið grafinn ásamt hinum í Magdeburg eftir ýmsar tilfærslur og vandræðagang rússa kemur auðvitað til greina en verður seint sönnuð. Reyndar hafa líka gengið sögusagnir um að Hitler sé ennþá á lífi en það hlýtur að teljast heldur ólíklegt.

Margir hafa heyrt af beinamálinu í sambandi við þjóðskáld Íslendinga, Jónas Hallgrímsson. Ef ég man rétt þá voru bein hans grafin upp í Kaupmannahöfn og flutt heim fyrir atbeina þess fræga manns Sigurjóns Péturssonar á Álafossi. Þetta var um 100 árum eftir lát skáldsins. Síðan tók við rekistefna um hvort beinin ættu að vera grafin á Þingvöllum eða á æskuslóðum Jónasar, Hrauni í Öxnadal. Einhverjir stálu beinunum og fluttu norður í skjóli nætur en þá gripu stjórnvöld í taumana og sóttu til baka það sem eftir var af þjóðskáldinu okkar! Enn telja sumir að beinin sem komið var með heim frá Danmörku séu í raun og veru ekki bein Jónasar og verður líklega aldrei fyllilega sannað hver það er sem hvílir undir bautasteini hans á Þingvöllum. Því hefur verið haldið fram að þar liggi danskur bakari eða smiður.

Kristofer Kolumbus, sá frægi landkönnuður, lést árið 1506 í borginni Valladolid á Spáni. Hans hinsta ósk var að bein hans fengju að hvíla á eyjunni Espanola sem hann hafði bundið miklu ástfóstri við. Spánverjar urðu við óskum hans, reyndar ekki fyrr en árið 1542 og hlaut hann legstað í dómkirkjunni í Santo Domingo ásamt jarðneskum leifum Diegos sonar hans. Þarna hvíldu bein Kólumbusar uns Spánverjar skyldu láta af hendi eystri hluta Espanola við Frakka. Þótti óhæfa að skilja þennan merka son Spánar eftir í franskri mold. Grófu menn þá niður þar sem þeir töldu gamla manninn hvíla og fundu blýkistu mikla, sendu til Kúbu sem Spánverjar réðu á þeirri tíð og grófu þar með viðhöfn hjá dómkirkjunni í Habana. Þar stendur víst ennþá á legsteini "Megi guð gefa að bein hans hvíli hér í friði í þúsundir alda".  En aðeins öld síðar gekk Kúba undan Spáni. Fóru beinin þá enn á flakk, að þessu sinni til Sevilla á Spáni og hlutu legstað þar.

Víkur nú sögunni aftur til Santo Domingo árið 1877 þar sem hafin var viðgerð á dómkirkju staðarins. Koma viðgerðarmenn niður á mikla kistu með líkamsleifum og á lokið innanvert var ritað: "Ilustre Y Esdo Varon Don Cristobal Colon" sem þýðir nokkurn vegin "Tiginn frægðarmaður Kristofer Kolumbus". Töldu heimamenn að Kolumbus væri ennþá á eyjunni sem honum var kærust. Þótti þetta mikil hneisa fyrir Spánverja sem viðurkenndu ekki að um væri að ræða kistu Kolumbusar. Urðu af þessu miklar deilur sem enduðu með því að Spánverjar kölluðu ræðismann sinn á eyjunni heim. Enn í dag mega þeir ekki heyra á annað minnst en sá gamli hvíli í sinni gröf í Sevilla.

Skáldbróðir Jónasar og landi Kólumbusar, spænska skáldið Frederico Garcia Lorca var skotinn af Falangistum í upphafi spænsku borgarastyrjaldarinnar árið 1936. Síðan þá hefur verið deilt um hvar lík Lorca væri niðurkomið og hafa ýmsir viljað koma því fyrir á stað sem væri stórskáldinu sæmandi. Fjölskylda skáldsins barðist lengi vel á móti því að leitað yrði að leifum hans. Það var ekki fyrr en seint á þessu ári (2009) sem farið var að leita í gröf við borgina Alfacar þar sem talið hefur verið að hann hafi verið huslaður ásamt tveim eða þrem öðrum fórnarlömbum styrjaldarinnar.  Fjölskyldan féllst loks á að gefa DNA sýni til samanburðar. Líkamsleifarnar sem voru grafnar upp eru enn til rannsóknar í Háskólanum í Grenada. Á næstu mánuðum er búist við niðurstöðum um hvort fundist hafi raunverulegt lík hins mikla skálds. Ýmsir hafa þýtt ljóð Lorca á íslensku, fyrstur sá merki ljóðaþýðandi Magnús Ásgeirsson frá Reykjum í Lundarreykjadal. Nýlega kom út hjá Háskólaútgáfunni bókin Gustur úr djúpi nætur, safn íslenskra þýðinga á ljóðum Lorca.

Segja lík Hitlers að engu gert

Spurningar um IceSave - og ef til vill svör....

Það er sumt sem ég skil ekki við Icesave. Ef það er rétt að það innheimtist allt að 90 prósent af eignum þrotabús gamla Landsbankans eins og kom fram í féttum um daginn. Ætti þá ekki 90% af eignasafni þrotabúsins (skuldabréf og önnur lán) að vera að skila vaxtatekjum sem fara langt með að dekka vaxtabyrðina sem er verið að semja um við núna? 

Ég hef ekki heyrt neinar tölur um hvað þrotabúið er með í tekjur á ári en það væri fróðlegt að sjá þær.

Og ef það er hægt að fá svona mikið úr þrotabúinu, hvers vegna er þá ekki hægt að drífa í að selja þessar eignir til að létta á skuldabyrðinni.

En hvað um það.  Ef það er raunin að við þurfum að greiða himinháar upphæðir í vexti, er þá ekki betra að bjóða íslendingum að kaupa IceSave skuldabréf sem ríkið gæfi út og greiða strax niður bresku og hollensku kröfurnar?  Í dag eru 2000 milljarðar í innistæðum í íslenskum bönkum. Þannig að ýmsir lúra á peningum:) 

Það er fátt um góða fjárfestingakosti á íslenskum fjármálamarkaði í dag og því gæti þetta verið kærkomið.

Það yrði miklu sársaukaminna fyrir ríkið að greiða Íslendingum þessa vexti heldur en þessum andskotum í Hollandi og Bretlandi. Og vextirnir færu þá inn í íslenska hagkerfið þegar ríkið greiddi þá út.

Ég hugsa að margir vildu kaupa svona skuldabréf af þegnskap á þessum tímum. Ekki síst lífeyrissjóðir. Þetta væri þjóðarátak.

Smá brandari í lokin: Maður nokkur fékk styrk úr Nýsköpunarsjóði til að framleiða mannbrodda á Bretlandsmarkað þar sem gamalt fólk dettur oft í hálku yfir vetrartímann. Nafnið á vörunni þótti sérstaklega frumlegt, nefnilega "Icesave".

Fjárlagaagi verður erfiður

Dreifum byggðinni meira - ekki þétta hana

Auðvitað líður fólki betur þar sem það hefur pláss í kring um sig, opin gróðursvæði, landslag og hreint loft - eins og kemur fram í þessari frétt. Þess vegna hef ég aldrei skilið þá áráttu skipulagsfræðinga og stjórnmálamanna að vilja þétta byggðina alltaf meira og meira og láta fólk lifa eins og maura í mauraþúfu eða svín á svínabúi.

Þetta er sérstaklega ástæðulaust á landi eins og Íslandi þar sem er nóg pláss fyrir alla og nóg lífsrými.  Við gleymum stundum hvað það eru mikil gæði fólgin í því.  Ég er svo heppinn að búa i nágreni við Elliðaárdalinn og vildi ekki skipta á því og búa í blokk á miðju flugvallarsvæðinu í Reykjavík þar sem verið er að tala um að búa til 30 - 40 þúsund manna byggð!

Græn svæði, bæða geðgæði, þar er ró og næði og pláss fyrir útsæði, þetta er æði.....

Græn svæði bæta geðgæði

Gross National Happiness

Samkvæmt þessari frétt virðist Nikulás Sarkozy ekki vita um mælikvarðann Gross National Happiness sem ég hélt reyndar að væri nokkuð þekktur. Hér er hægt að lesa um hann.

Ísland var áður fyrr alltaf meðal efstu þjóða í mælingum skv þessu mælikvarða en ég veit ekki hvort honum hefur verið beitt eftir bankahrunið.

Ég bloggaði (sjá hér) fyrir nokkru um skemmtilega bók eftir mann sem ferðaðist um mörg lönd og skrifaði um hvort hamingja íbúanna væri í samræmi við þessar hamingjumælingar.  Ein niðurstaða höfundarins Erics Weiner var þessi: Recent research reveals that money does indeed buy happiness. Up to a point.  That point, though, is surprisingly low: about $1500 a year. After that, the link between economic growth and happiness evaporates.  

Svona er það. Ef fólk hefur það þokkalegt á annað borð þá er hamingjan fólgin í öðru en efnislegum verðmætum. Hún kemur innan frá.  Eins og einhver gáfaður maður sagði: Allt það besta í lífinu er ókeypis.

Svo er álitamál hvort það sé einhver þörf á að mæla og vega alla hluti. Skilgreiningarveiki og mælingasýki getur verið hættuleg ef hún gengur of langt.  Þættir eins og gleði, ást og hamingja eru nú líklega þess eðlis að það er varla hægt að leggja á slíkt einhverja mælistiku. En gaman er að spá í þessa hluti. 

Verg landshamingja

Breytt heimsmynd

Þessari furðuskepnu manninum er alltaf að fjölga á Jörðinni.  Kannski gildir það lögmál að þessari dýrategund fjölgi með veldisvexti þar til mikið hrun verður í stofninum vegna stríðs, sjúkdóma eða vegna þess að auðlindirnar sem hún lifir á klárast.  Svoleiðis ferli eru alþekkt í vistkerfinu.

En fólki fjölgar ekki allstaðar. Í mörgum Evrópulöndum er fæðingartíðni orðin svo lág að hún nægir ekki til þess að viðhalda fólksfjölda.  Dæmi um þetta er Þýskaland þar sem hver kona eignast nú að meðaltali aðeins 1,35 barn.  Hver kona þarf að sjálfsögðu að eignast meira en tvö börn til þess að viðhalda tegundinni þar sem karlar eignast ekki börn eins og alkunna er.

Margar fjölmennar þjóðir eins og Rússar, Kínverjar og Japanir eru einnig vel undir viðhaldsmörkum í fæðingartíðni.

Íslendingar eru einna frjósamastir V-Evrópubúa, en hér eignast kona að meðaltali 2,05 börn.  Ef litið er til þess og að við eigum öfluga lífeyrissjóði til viðbótar þá er framtíð okkar björt að þessu leyti, hvað sem öðru líður.

Þær þjóðir sem fjölga sér örast eru í Afríku og svo Indland og Brasilía af stórum löndum.  Þá fjölgar innfæddum íbúum Bandaríkjanna og Kanada miklu meira en íbúum V-Evrópu.  Innflytjendur sækja einnig mest til N-Ameríku sem er dáldið merkilegt þar sem þar er tekjuskipting einna ójöfnust í heiminum.  Það er umhugsunarefni fyrir þá sem telja að jöfnun tekna sé æskilegt markmið, en um slíkt tókust íslenskir félagsfræðimenn mjög á um á meðan hér lék allt í lyndi.

Þær breytingar sem eru fyrirsjáanlegar í Evrópu á næstu áratugum eru því þær að eldra fólki mun fjölga verulega.  Það mun skapa mikinn þrýstinn á velferðarkerfi þessara landa þar sem þau hafa yfirleitt ekki góða lífeyrissjóði eins og við.  Það mun myndast spenna á milli kynslóða og innflutningur ungs fólks frá öðrum löndum sem vinnuafl mun aukast.  Þessi spenna mun koma til viðbótar þeirri spennu sem á eftir að vaxa á milli innflytjenda og upprunalegra íbúa þessara landa.

Önnur afleiðing gæti verið veiking Evrópu gagnvart Bandaríkjunum þar sem fólksfjölgun er yfir viðhaldsmörkum. Meðalaldur Bandaríkjamanns í dag er 35 ár en Evrópubúa 38 ár. Árið 2050 er því spáð að Evrópubúi verði að meðaltali 53 ára en Bandaríkjamaður 36 ára.

Hvernig stendur á því að í Evrópu þar sem fólk fær fæðingarorlof og velferðarkerfið hlúir einna best að barnafólki.  Þar er fæðingartíðnin minnst?  Evrópubúar virðast álíta að börn séu íþyngjandi og trufli starfsframa. Fólk giftist eldra sem eykur líkur eru á ófrjósemi og barneignartíminn verður styttri. 

Dæmigerður innfæddur Evrópubúi verður í framtíðinni ofdekrað einbirni  (Eurostar) sem erfir verulegar eignir og ríkidæmi eftir foreldra sína. Jafnaldrar hans verða gjarnan innfluttir múslimar, afkomendur þeirra eða innflytjendur frá öðrum löndum svo sem Kína, Afríku eða S-Ameríku.

Hvernig verður lífið í einbirnalandi Evrópu eftir 4-5 áratugi?  Samkvæmt rannsóknum eru einbirni haldin fullkomnunaráráttu, þola illa gagnrýni en eru framtakssöm og hafa leiðtogahæfileika.  Þau hafa hlotið athygli foreldra sinna óskerta sem hafa líka gert miklar kröfur til þeirra. Dæmi um einbirni eru Tiger Woods, Leonardo Da Vinci, Franklin Delano Roosevelt og Frank Sinatra sem gerði hlutina "his way".  Það verður gaman að fylgjast með þessu.

Mannkyn nálgast 7 milljarða

Gjábakkavegurinn er afar slæmur núna

Í gær fór ég Gjábakkaveg eins og oft áður í sumar. Rétttrúnaðarmenn í landafræði benda gjarnan á að vegurinn milli Þingvalla og Laugavatns sé ekki yfir Lyngdalsheiði enda sé hún talsvert sunnar.

En hvað um það.  Vegurinn er afar slæmur og man ég varla eftir öðru eins. Ungt þýskt par á litlum fólksbíl stoppaði okkur og spurði hvað væri langt eftir á Laugarvatn.  Þau héldu að þau hefðu villst af aðalveginum inn á einhvern slóða!!  Ég hitti fleiri erlenda ferðamenn um helgina sem töluðu um hvað vegurinn hefði verið slæmur.  Að mínu mati ætti að setja skilti við veginn og benda ferðamönnum á að keyra niður Grímsnes frá Þingvöllum og síðan þaðan upp Biskupstungnabraut.

Ég hef farið þennan veg oft á sumri í mörg ár. Það er alltaf sama sagan. Fyrst á vorinn er hann þokkalegur eftir að búið er að hefla hann og ef til vill bera í hann á stöku stað. Síðsumars verður hann yfirleitt nánast ókeyrandi, sérstaklega í rigningartíð.  Ég held samt að hann hafi sjaldan verið jafn slæmur og núna, þvottabrettin ógurleg og sumstaðar hefur runnið mikið úr honum. 

Vonandi kemst vinna við nýjan Gjábakkaveg í gang aftur sem fyrst. Lítið hefur miðað í sumar vegna gjaldþrots verktakans og veit ég ekki hvernig staðan er í því máli núna.  Hér er mynd af núverandi leið og tillögum um ný vegastæði.  Það er leið 2 sem var ákveðið að fara en ég hefði reyndar viljað að menn hefðu farið leið 4 eða 5 og gert nýjan veg fyrir sunnan vatnið.  Um það bloggað ég fyrir nokkru síðan, sjá hér.

 

Vegurinn yfir Lyngdalsheiði eins og þvottabretti

Ofar en Ísland í Ljóssteinungalandi

Nýlega þurfti ég að fara í vinnuferð til Liechtenstein ásamt félaga mínum Högna Eyjólfssyni. Ljóssteinungaland er ákaflega fallegt, ekki síst þegar það er komið í sumarbúninginn. Það er í raun aðeins lítil ræma meðfram Rín, Sviss er fyrir vestan en Austurríki fyrir austan. Einungis um 160 ferkílómetrar að stærð, eða álíka og lítið sveitarfélag á Íslandi.  Við gistum í litlu þorpi sem heitir Triesenberg.  Það er í hæðinni fyrir ofan höfuðborgina Vaduz.

Eftir stífan vinnudag er fátt betra en að hressa sig við með góðri gönguferð.  Fyrra kvöldið gengum við út frá Triesenberg, út úr þorpinu og göngustíg upp hlíð fyrir austan þorpið og síðan niður aftur. Útsýnið var stórbrotið. Við vorum um tvo tíma á leiðinni og gengum rösklega.  Víða lá göngustígurinn í gegn um skóg en á milli voru rjóður með gömlum húsum. Útsýnið var eins og á póstkorti eða úr ævintýrabókunum um Heiðu. Talsvert var af búpeningi þarna og víða gripahús með hlöðulofti þar sem kýr eru hafðar yfir vetrartímann frá nóvember fram í mars var okkur sagt af heimamanni.  Einnig sáum við geitur, hross og asna. 

Seinna kvöldið var markið sett hærra. Á hótelinu hafði ég séð kort af svæðinu og þarna blöstu við nokkrir flottir fjallstindar á bilinu 2000 - 2500 háir.  Því er ekki að neita að það kitlaði hégómagirndina að komast á hærra fjall en Hvannadalshnjúk sem ég hafði gengið á um tveim vikum áður. Við ókum sem leið lá upp í fallegt skíðaþorp sem heitir Malbun. Þar var frekar eyðilegt og augljóslega meira mannlíf þar um vetur en að sumarlagi. Bjálkahúsin og hótelin stóðu auð og aðeins einn og einn bíll á stangli. 

Við okkur blasti fallegur fjallahringur. Á flesta fjallstoppana höfðu verið settir krossar sem gera þá tignarlegri. Talsverður snær var ennþá í hlíðum fjallanna. Við hófum uppgönguna um klukkan fimm að staðartíma en þarna er þorpið í um 1600 metra hæð.  Góðir göngustígar liggja upp fjallið og þræddum við þá að mestu en styttum okkur leið á köflum með því að fara beint upp brekkurnar í stað þess að ganga alla hlykkina. Þarna sáum við mikið af litlum jarðíkornum, Marmots.  Brekkurnar voru sundurgrafnar af holum þessara kvikinda og þau hafa líklega verið nýlega vöknuð af vetrardvala.

Eftir ríflega klukkustundar gang vorum við komnir upp á tind sem á korti heitir einfaldlega Spitz (sem þýðir bara tindur sagði Högni mér). Hann er hluti af fjallgarði sem er kallaður Silvretta og rétt hjá er annar hærri tindur sem heitir Augstenberg.  Þessi Spitz er 2186 metra hár. Hinum megin sáum við niður í fallegan dal Austurríkismegin. Augstenberg er hins vegar um 2300 metra hár.  Við horfðum þangað og hefðum eflaust keifað þangað upp nema af því að okkur þótti veðurútlitið vera orðið heldur tvísýnt. Miklar drunur og skýjabólstrar voru í vestri. Við snerum því snarlega við og flýttum okkur niður. Og það skipti engum togum að það skall á þrumuveður og eldingum sló niður allt í kring um okkur þar sem við hlupum kengbognir niður brekkurnar í þesslags slagviðri að maður var holdvotur inn að skinni þegar við komum aftur að bílnum um klukkan sjö. 

Það var mjög kærkomið að fá sér orkumikið pasta og bjór á veitingastaðnum við hliðina á hótelinu um kvöldið. Við hrósuðum happi yfir að hafa ekki fengið eldingar í hausinn en heimamenn sem við borðuðum með okkur í hádeginu höfðu sagt okkur frá því að nýlega hefðu tveir drengir í skólaferðalagi dáið af völdum eldingar þegar þeir leituðu skjóls í yfirgefnum kofa þarna á svæðinu.

Liechtenstein er einstaklega fallegt land en lítt þekkt á Íslandi.  Heimamenn eru á hinn bóginn mjög meðvitaðir um Ísland þar sem við erum bandalagsþjóð þeirra í EES ásamt Noregi. Flestir fundir byrja á því að maður situr fyrir svörum um áform Íslands um aðild að Evrópusambandinu sem þeim hugnast lítt.  Sjálfir vilja þeir forðast EB í lengstu lög og telja sér betur borgið með fullu sjálfstæði. Þeir óttast að það veiki sína stöðu ef þeir missa Ísland sem bandalagsþjóð og það sé ekki gott fyrir EES samninginn. Mig grunar að Ljóssteinungar séu vannýtt vinaþjóð okkar ef svo má að orði komast. Ég gæti trúað að þarna væru fleiri tækifæri í viðskiptum og samvinnu ýmiskonar.  Í landinu eru frábærir möguleikar til útivistar. Mikið um stórbrotnar gönguleiðir og hjólastígar í fjöllunum að ógleymdum skíðasvæðunum á veturna. Margir ferðamenn koma þarna árlega til að stunda útivist. Það er galli að ekki skuli vera flogið beint frá Íslandi til Zurich, en þaðan er aðeins ríflega klukkustundar akstur til Vaduz höfuðborgar Ljóssteinunga eftir ákaflega fagurri leið.  Frá Frankfurt er um þriggja tíma akstur.

Á toppi Íslands

Hér er sagt frá leiðangri á Hvannadalshnjúk síðastliðinn sunnudag 3. maí.  Við lögðum af stað úr Reykjavík um hádegi á laugardag á tveim langferðabílum. Alls um sjötíu manns, flestir starfsmenn Íslandsbanka sem skipulögðu ferðina. Upphaflega stóð til að ganga á hnjúkinn 1. maí en hætt var við það vegna slæmrar veðurspár. Með stuttu stoppi í Víkurskála vorum við komin um klukkan fimm á Hótel Skaftafell í Feysnesi. Fljótlega var snæddur kolvetnaauðugur pastaréttur og brauð. 

Leiðangursstjórinn Haraldur Örn Ólafsson er tvímælalaust mesti ferðagarpur Íslands. Hann hefur farið á báða pólana og klifið marga af hæstu tindum heims. Faðir hans Ólafur Haraldsson var einnig einn af átta fararstjórum í ferðinni. Haraldur var í stöðugu sambandi við veðurfræðinga og tilkynnti í kvöldmatnum að lagt yrði af stað frá hótelinu klukkan tvö um nóttina og gengið af stað um klukkan hálf þrjú.  

Við gengum því til náða klukka átta um kvöldið og stilltum vekjaraklukkuna á eitt. Það er vissulega óvenjulegt á laugardagskvöldi enda varð lítið um svefn.  Maður reyndi að slaka á og dorma en í draumaheim komst maður ekki þessa nótt enda efirvæntingin talsverð og ekki vildi maður sofa yfir sig.

Það var blíðuveður þegar við vöknuðum klukkan eitt og fengum okkur snemmbúnasta morgunmat sem ég man eftir að hafa snætt. Við klæddum okkur og útbjuggum samkvæmt fyrirmælum enda kom í ljós að ekki veitti af. Gangan hófst í myrkri undir Sandfelli á tilsettum tíma. Flestir voru með ljós á höfðinu enda varla ratljóst orðið. Haraldur Örn gekk fyrst.  Hann lagði mikla áherslu á að fara hægt af stað og ganga á jöfnum hraða til að spara kraftana. Það fór að birta milli klukkan þrjú og fjögur.  Fögur fjallasýn kom í ljós í vestri.

Við gengum með nokkrum pásum upp í 1100 metra hæð.  Þá vorum við farin að ganga á snjó að mestu og jökullinn framundan. Nú var fólkinu skipt í átta hópa sem bundu sig saman í línu og var einn fararstjóri fremstur í hverjum hóp. Okkar hóp leiddi Ingþór nokkur ferðagarpur, sem m.a. hafði gengið þvert yfir Grænlandsjökul.  Svo var byrjað að tosast upp á jökulinn hægt en bítandi.  Það er seinlegra að ganga svona í línu en frjáls.

Nú fór fljótlega að þykkna upp og hvessa. Skyggnið minnkaði smátt og smátt og maður fór að finna fyrir kulda um leið og stoppað var.  Fararstjórarnir stoppuðu reglulega til að láta fólk borða og drekka jafnvel þó matarlystin væri ekki mikil.  En maður fann að maður hresstist alltaf við þetta.  Það  tók mjög langan tíma að ganga upp jökulbrekkuna upp í 1800 metra hæð, þar sem sléttan byrjar. Veðrið versnaði smátt og smátt. Ofarlega mættum við hóp sem hafði snúið við á brúninni. Þeir sögðu að það væri vitlaust veður uppi og höfðu hætt við.  Nokkrar sprungur voru þarna á leiðinni upp en við gátum stikað yfir þær. Einn úr hópnum sem kom á móti okkur féll reyndar til hálfs niður í sprungu og þá sáum við hversu nauðsynlegar línurnar er.

Loks komumst við upp á 1800 metra brúnina. Þar tekur við ganga á nánast jafnsléttu í vestur um fjóra kílómetra. Eitthvað var rætt um hvort snúa ætti við. Ég var alveg til í það, sá ekki fram á að það yrði gaman að ganga í þessu veðri og sumum var orðið kalt, sérstaklega þegar stoppað var. En eftir að fararstjórinn hafði talað við Harald Örn sem var nokkuð á undan skipaði hann okkur að halda áfram. Seggur sá er ekki vanur að snúa við. Hann fullyrti að það myndi lægja og birta til. Ég átti fullt í fangi með að halda á mér hita í pásunum, sérstaklega á höndunum þar sem maður þurfti að taka af sér vefttlingana til að borða. 

En um leið og maður fór að ganga hlýnaði manni og góð fötin héldu okkur þurrum.  Ég var í ullarnærfötum sem sönnuðu gildi sitt. Keypum þau í Janusi, góð föt á góðu verði. Tvöföldum ullarsokkum úr sömu búð. Í powerstrets flísbuxum og peysu á milli.  Yst í góðum Gore-Tex buxum og úlpu. Ég hefði viljað vera í einu lagi meira að ofan innundir, annað hvort flís eða auka ullarpeysu. Við vorum með dúnúlpur sem við settum yfir okkur í pásum og stundum í göngu.  Þær komu sér rosalega vel. Ég var í góðum skíðavetlingum en hefði frekar átt að vera í góðum lúffum úr þæfðri ull eða tvöföldum. Á hausnum var ég í lambhúshettu úr flís og annari húfu þar yfir. Að sjálfsögðu vorum við í skíðagleraugum en sólgleraugun settum við ekki upp. Flestir fengu líka heitt vatn í hitabrúsa í Freysnesi og voru með heitt te eða kakó.  Það var æðislegt.  En númer eitt, þið sem farið í svona ferðir, búið ykkur vel og farið að öllum ráðum fararstjóra.

Gangan eftir sléttunni gekk ágætlega en ekki hratt. Vindurinn og skafrenningurinn hélst samt áfram og var aðeins í fangið núna. En þegar við áttum eftir tæpan kílómetra að hnjúknum birti skyndilega yfir og kóngurinn á svæðinu kom í ljós. Haraldur pólfari hafði haft rétt fyrir sér um að það myndi létta til.   Sjaldan hefur maður séð jafn stórbrotna sjón og þetta tröll birtast liggjandi fram á lappir sínar í hvítri brynju og grimmúðlegt. Það var stoppað vel undir hjnúknum og borðað.  Hér skildu allir eftir bakpokana sína og göngustafina en settu á sig mannbrodda og tóku ísaxir í hönd. Það er nokkuð bratt upp á hnjúkinn sjálfann en þar sem snjór var mikill reyndi lítið á axirnar og broddana.  Þessi ganga úr 1800 í 2109 metra var því ekki sérlega erfið bakpokalaus og í þokkalegu veðri.

Það var síðan stórkostleg tilfinning að standa á toppnum. Útsýnið austur yfir sléttuna (sem er í reynd askja fulla af klaka) var ægifagurt. Við sáum ekki mikið í vestur eða norður. Eftir fagnaðarlæti, hamingjuóskir og myndatökur var svo gengið sömu leið niður.  Nú vildi fararstjórinn vera síðastur og það lenti á mér að vera fyrstur í línunni niður þar sem ég var aftastur áður.  Það gekk allt vel en við þurfum reyndar að stoppa af og til til að hleypa öðrum línum upp. Það var svo stoppað aftur í búðunum fyrir neðan hnjúkinn og fólk tók mannbroddana af sér og gengu aftur frá ísöxunum.

Svo hófst gangan til baka.  Hægt og bítanadi austur yfir sléttuna sem maður tók nú eftir að hafði verið talsvert undan fæti hina leiðina því nú fann maður fyrir álíðandi brekkunni upp í móti. Og þá fór ég að finna fyrir þreytunni enda búinn að vera í göngu í um hálfan sólarhring, ósofinn. Það fór líka að hvessa á ný og nú byrjaði ofankoma og snjórinn varð þungur undir fæti. Það var samt hlýrra en á leiðinni upp. Gangan niður brekkuna reyndi á þolrifin.  Snjórinn var nú orðinn mjög þungur undir fæti en það hafði hlýnað og maður var berhentur.  Á sama stað í um 1100 metra hæð fengum við að leysa okkur úr línunum og gengum frjáls niður. Ég fór að finna talsvert til í hnjánum í grjótinu og skriðunum. Gekk því frekar hægt og reyndi að hlífa löppunum. 

Mín lína var komin niður um klukkan sex.  Við vorum því um 15 klukkustundir á göngu. Þeir síðustu komu ekki niður fyrr en klukkan var farin að ganga níu.  Það var kærkomið að fá hamborgarar í Freysnesi. Góð stemming var í hópnum eins og vænta mátti.  Dísa sem hafði séð um skipulag og undirbúning þakkaði öllum fyrir frábæra frammistöðu og fararstjórum fyrir örugga leiðsögn. Tilfinningin var eins og maður hefði unnið stórafrek og auðvitað var það svo.  Þetta er mjög erfitt og væri ekki hægt nema með þessum góða útbúnaði og undir stjórn þessara reyndu fararstjóra.  Maður sem hefði verið í lélegum fatnaði sem hafði ekki haldið vatni og hita í veðrinu sem var þarna uppi hefði króknað á stuttum tíma.  Rúturnar lögðu af stað heim um klukkan tíu. Mér tókst að dotta aðeins á leiðnni en við komumst ekki í bólið fyrr en hálf fjegur. Í vinnuna var ég samt mættur upp úr klukkan átta og hana nú. Bara merkilega hress.  Hefði kannski þegið að taka mér frí og sofa út ef ég hefði ekki verið með nokkra fundi bókaða þennan dag. Þetta var mikill sigur og ævintýri sem ég á eftir að muna alla mína ævi. 

Hér eru nokkrar mynir sér ég tók.

Hér er síðan betra myndasafn frá Árna Guðmundssyni.

En við fengum ekki sama útsýnið og Sigurpáll Ingibergsson sem tók þessa mynd.